Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：

①2a+b＜0；

②﹣1≤a≤﹣；

③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；

④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．

其中结论正确的序号是_____．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

由对称轴、顶点坐标和y轴交点坐标代入可得b=-2a，c=-3a可判断①②，对函数图像得最大值进行分析可以判断③④．

如图，

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，所以①错误；

∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，

∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），

∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；

∵当x＝1时，y有最大值，

∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），

即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，

∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．

故答案为②③．