Question

【题目】我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．

（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=________；

（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由.

Answer 1

【答案】（1）6，24，54，96；（2）当m为最大的两位数质数97时，F（m）存在最小值，最小值为.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知且，由此可得，即a=6或24或54或96；

（2）由F（m）=且可知，F（m）的最大值为1，此时，则m是一个完全平方数，找出两位数中的所有完全平方数即可得到m的值；由F（m）=且可知，当m是两位数中的最大质数时，F（m）的值最小，找到两位数中的最大质数即可得到答案.

试题解析：

（1）∵，F（a）=，

∴，

∴ a=6或24或54或96；

（2）F（m）存在最大值和最小值.

①∵F（m）=且，

∴F（m）的最大值为1，此时，

∴当m是一个完全平方数时，F（m）有最大值1，

又∵m是两位数，

∴当m=16或25或36或49或64或81时，F（m）有最大值1；

②当m为质数时，p=1，q=m，此时由题意可知F（m）=，

∴当m为两位数中的最大质数97时，F（m）最小，

此时F（m）=F（97）=.