Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；

（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；

（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．

Answer 1

解：（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，

C点的坐标为（，3），

设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

则，解得，

所求抛物线的解析式为y=﹣x²+2x．

（2）由题意，设P（，y），则：

OP²=y²+3、CP²=（y﹣3）²=y²﹣6y+9、OC²=12；

①当OP=CP时，6y=6，即 y=1；

②当OP=OC时，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；

③当CP=OC时，y²﹣6y﹣3=0，即 y=3±2；

∴P点的坐标是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；

（3）过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．

∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，

∴OA=2，OB=4，

由三角形面积公式得：4×AR=2×2，

AR=，

∵△MOB的面积等于△OAB面积，

∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，

∠NOD=∠BOA=30°，ON=，

则OD=2，

求出直线OB的解析式是y=x，

则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x﹣2，

解，，

解得：，，，

此时，M₁（，3）、M₂（，）．M₃（2，0）．M₄（﹣，﹣）．