Question

7．如图1，抛物线y=ax²-6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．
（2）设△PMN的面积为S₁，△AEN的面积为S₂，若S₁：S₂=36：25，求m的值．
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．
①在x轴上找一点Q，使△OQE∽△OE′A，并求出Q点的坐标．
②求BE′+$\frac{1}{2}$AE′的最小值．

Answer 1

分析 （1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax²-6ax+6，可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）E（m，0），则N（m，-$\frac{3}{4}$m+6），P（m，-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6），然后证明△ANE∽△ABO，依据相似三角形的性质可求得AN的长，接下来，再证明△NMP∽△NEA，然后依据相似三角形的性质可得到$\frac{PM}{AN}$=$\frac{6}{5}$，从而可求得PM=12-$\frac{3}{2}$m，然后依据PM=-$\frac{3}{8}$m²+3m，然后列出关于m的方程求解即可；
（3）①在（2）的条件下，m=4，则OE′=OE=4，然后再证明△OQE′∽△OE′A，依据相似三角形的性质可得到$\frac{OQ}{OE′}$=$\frac{OE′}{OA}$，从而可求得OQ的值，于是可得到点Q的坐标；
②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为$\frac{OQ}{OE′}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{QE′}{AE′}$=$\frac{1}{2}$，于是得到BE′+$\frac{1}{2}$AE′=BE′+QE′，当点B、Q、E′在一条直线上时，BE′+QE′最小，最小值为BQ的长．

解答 解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax²-6ax+6，得64a-48a+6=0，
∴16a=-6，a=-$\frac{3}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6与y轴交点，令x=0，得y=6，
∴B（0，6）．
设AB为y=kx+b过A（8，0），B（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b．
（2）∵E（m，0），
∴N（m，-$\frac{3}{4}$m+6），P（m，-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6）．
∵PE∥OB，
∴△ANE∽△ABO，
∴$\frac{AN}{EN}$=$\frac{AB}{OB}$，
∴$\frac{AN}{-\frac{3}{4}m+6}$=$\frac{10}{6}$，解得：AN=$\frac{5（6-\frac{3}{4}m）}{3}$．
∵PM⊥AB，
∴∠PMN=∠NEA=90°．
又∵∠PNM=∠ANE，
∴△NMP∽△NEA．
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{36}{25}$，
∴$\frac{PM}{AN}$=$\frac{6}{5}$，
∴PM=$\frac{6}{5}$AN=$\frac{6}{5}$×$\frac{5（6-\frac{3}{4}m）}{3}$=12-$\frac{3}{2}$m．
又∵PM=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6-6+$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{8}$m²+3m，
∴12-$\frac{3}{2}$m=-$\frac{3}{8}$m²+3m，整理得：m²-12m+32=0，解得：m=4或m=8．
∵0＜m＜8，
∴m=4．
（3）①在（2）的条件下，m=4，
∴E（4，0），
设Q（d，0）．
由旋转的性质可知OE′=OE=4，
若△OQE′∽△OE′A．
∴$\frac{OQ}{OE′}$=$\frac{OE′}{OA}$．
∵0°＜α＜90°，
∴d＞0，
∴$\frac{d}{4}$=$\frac{4}{8}$，解得：d=2，
∴Q（2，0）．
②由①可知，当Q为（2，0）时，
△OQE′∽△OE′A，且相似比为$\frac{OQ}{OE′}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{QE′}{AE′}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AE′=QE′，
∴BE′+$\frac{1}{2}$AE′=BE′+QE′，
∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，
∵B（0，6），Q（2，0），
∴BQ=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，
∴BE′+$\frac{1}{2}$AE′的最小值为2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，列出关于m的方程是解题答问题（2）的关键，明确当点点B、Q、E′在一条直线上时BE′+$\frac{1}{2}$AE′取得最小值是解题的关键．