Question

16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过B、C两点的直线解析式为y=-x+b．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作PD⊥BC于点D，垂足为点D．设P点的横坐标为t，线段PD的长为d，求d与t的函数关系．
（3）过A作射线AQ，交抛物线的对称轴于点M，点N是x轴正半轴上B点右侧一点；BN的垂直平分线交射线AQ于点G，点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上．若$\frac{MG}{AN}$=$\frac{5}{8}$，求当（2）中的d最大时直线PN与x轴所夹锐角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的解析式求出点C坐标，即可求出b，推出点A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出a．
（2）如图1中，作PE⊥AB于F，交BC于E．设P（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3）．首先证明△PDE是等腰直角三角形，推出PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，由此即可解决问题．
（3）如图2中，设BN的垂直平分线交x轴于H，抛物线的对称轴交x轴于D，作ML⊥GH于L．首先证明cos∠GML=cos∠GAH=$\frac{4}{5}$，由$\frac{3}{4}$AH=GH，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+3与y轴交于点C，
∴C（0，3）
∵直线解析式为y=-x+b过B、C．
∴C（0，b），B（b，0），
∴b=3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴为x=1，A、B关于对称轴对称，
∴A（-1，0），把A（-1，0）代入抛物线的解析式3a+3=0，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）如图1中，作PE⊥AB于F，交BC于E．设P（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3）．

∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠COB=∠EFB=90°，
∴∠FEB=∠PED=45°，
∴d=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-t²+2t+3+t-3）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．（0＜t＜3）．
∴d=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．（0＜t＜3）．

（3）如图2中，设BN的垂直平分线交x轴于H，抛物线的对称轴交x轴于D，作ML⊥GH于L．

∵GM：AN=5：8，设GM=5k，AN=8k，
∵AB=4，BD=2，
∴BN=8k-4，
BH=4k-2，
DH=DB+BH=4k，
∴cos∠GML=$\frac{ML}{MG}$=$\frac{4}{5}$，
∵ML∥AH，
∴∠GML=∠GAH，
∴cos∠GAH=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AH=GH，
设G点横坐标为m，
∵点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上，
∴G（m，m²-2m-3），
∴$\frac{3}{4}$（m+1）=m²-2m-3，
解得m=$\frac{15}{4}$或-1（舍弃），
∴点H（$\frac{15}{4}$，0），N（$\frac{9}{2}$，0）．
∵d=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴t=$\frac{3}{2}$时，d有最大值，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴此时直线PN与x轴所夹锐角的正切值=$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．