Question

16．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×4}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）；
第2个等式：a₂=$\frac{1}{4×7}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{7×10}$=$\frac{1}{3}×$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）；
第4个等式：a₄=$\frac{1}{10×13}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{13}$）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a₅=$\frac{1}{13×16}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{16}$）；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式：a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）．
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值；
（4）直接写出答案：a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3（p-1）+1}$-$\frac{1}{3（p+q）+1}$），p，q均为正整数．

Answer 1

分析 （1）（2）分子是1，分母是相差3的两个自然数的乘积，等于分子是1，分母是这两个自然数的两个分数差的$\frac{1}{3}$，由此规律解决问题；
（3）利用得出的规律拆分计算即可；
（4）把问题转化为a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q=（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q）-（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p-1）得出答案即可．

解答 解：（1）a₅=$\frac{1}{13×16}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{16}$）；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式：a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）．
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀
=$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{298×301}$
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{298}$-$\frac{1}{301}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{301}$）
=$\frac{100}{301}$；
（4）a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q
=（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q）-（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p-1）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3（p+q）+1}$）-$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3（p-1）+1}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3（p-1）+1}$-$\frac{1}{3（p+q）+1}$）．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．