Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠CAD=30°．
（1）求证：BD=2CD；
（2）取BD的中点E，连接AE，求证：△ADE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，得到∠BAC=120°，根据三角形的内角和得到∠B=∠C=∠CAD=30°，证得AD=CD，然后根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到AE=BE=DE，根据三角形的内角和得到∠ADE=60°，于是证得结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，
∴∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠CAD=30°，
∴AD=CD，
∴BD=2AD=2CD；

（2）解：如图，∵点E是BD的中点，∠BAD=90°，
∴AE=BE=DE，
∵∠B=30°，
∴∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握各定理是解题的关键．