Question

13．关于x的一元二次方程x²-（m+2）x+3m+3=0有有理数根．其中m为整数，求m的所有可能取值．

Answer 1

分析 由关于x的一元二次方程x²-（m+2）x+3m+3=0有有理数根，得到△=[-（m+2）]²-4（3m+3）=m²-8m-8=（m-4）²-24是完全平方数，于是设（m-4）²-24=k²，得到$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=12}\\{m-k-4=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=6}\\{m-k-4=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=-12}\\{m-k-4=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=-6}\\{m-k-4=-4}\end{array}\right.$，即可解得结果．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²-（m+2）x+3m+3=0有有理数根，
∴△=[-（m+2）]²-4（3m+3）=m²-8m-8=（m-4）²-24是完全平方数，
∴设（m-4）²-24=k²，
∴（m-4）²-k²=24，
∴（m+k-4）（m-k-4）=24，
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，
且m+k-4，m-k-4同是奇数或偶数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=12}\\{m-k-4=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=6}\\{m-k-4=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=-12}\\{m-k-4=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+k-4=-6}\\{m-k-4=-4}\end{array}\right.$，
解得：m=11，m=9，m=-1，m=-3．

点评 本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．