Question

已知二次函数.

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；

（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；

（3）在满足第(2)问的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.

Answer 1

 解（1）因为△=       ………………1分

所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.………………2分

（2）设x₁、x₂是的两个根，

则，                      ………………3分

因两交点的距离是，所以。

即      变形为     ………………4分

所以       

整理得   

解方程得                         ………………5分

又因为：a<0   所以：a=－1                

所以此二次函数的解析式为      ………………6分

（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以   AB=         

所以   S_△PAB=    所以    

即   ，则               ………………7分

时，，即

解此方程得     =－2或3            ………………8分

当时，，即

解此方程得     =0或1              ………………9分

综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。

                                             ………………10分