Question

17．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式
（2）首先利用各点坐标得△PBC是直角三角形，进而得出答案；
（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论：
①当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°时，根据A、B的坐标可求出AB的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，已经求出了PB的长度，那么可根据比例关系式得出BQ的长，即可得出Q的坐标．
②当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{CB}$，∠QBP=∠ABC=45°时，可参照①的方法求出Q的坐标．
③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0），
∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴该抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）如图1，∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
又∵B（3，0），C（0，3），
∴PC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{（3-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，
又∵PB²+BC²=2+18=20，PC²=20，
∴PB²+BC²=PC²，
∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PB•BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3；

（3）如图2，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=$\sqrt{2}$．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3$\sqrt{2}$．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{CB}$，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得：QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$，
∴Q₂的坐标是（$\frac{7}{3}$，0）．
③当Q在B点右侧，
则∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0），
能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，也考查了综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，正确运用分类讨论是解题关键．