Question

4．如图，y=-x²+（m-2）x+3（m+1），
（1）如图，是二次函数图象，P为顶点，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，m为何值时，△ABP为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线位置，由对称轴在y轴左侧得-$\frac{m-2}{2×（-1）}$＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得3（m+1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可得到m的取值范围；
（2）作PH⊥AB于H，如图，利用抛物线的对称性得到△PAB为等腰三角形，则当∠PAB=60°时，△ABP为等边三角形，所以PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，利用抛物线与x轴的交点问题得到A（-3，0），B（m+1，0），则AB=m+4，再利用顶点坐标公式得到顶点P的纵坐标为$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$，则$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+4），解此方程得m₁=-4，m₂=2$\sqrt{3}$-4，然后根据m的取值范围可确定满足条件的m的值．

解答 解：（1）根据题意得-$\frac{m-2}{2×（-1）}$＜0且3（m+1）＞0，
解得-1＜m＜2；

（2）作PH⊥AB于H，如图，△PAB为等腰三角形，
当∠PAB=60°时，△ABP为等边三角形，则PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵y=-x²+（m-2）x+3（m+1）=-（m+3）[x-（m+1）]，
∴A（-3，0），B（m+1，0），
∴AB=m+1+3=m+4，
而顶点P的纵坐标为$\frac{4×（-1）×3（m+1）-（m-2）^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$，
∴$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+4），
整理得（m+4）²-2$\sqrt{3}$（m+4）=0，解得m₁=-4，m₂=2$\sqrt{3}$-4，
而-1＜m＜2，
∴m=2$\sqrt{3}$-4，
即在（1）的条件下，m为2$\sqrt{3}$-4时，△ABP为等边三角形．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了等边三角形的判定与性质．