Question

17．如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为9$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 连接AC、BD，首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．

解答 解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，

∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=FG，EH∥BD∥FG，
EF=$\frac{1}{2}$AC=HG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AC=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=6$\sqrt{3}$，
∵EH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EH=3$\sqrt{3}$，EF=3，
∴矩形EFGH的面积=EF•FG=9$\sqrt{3}$cm²．
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形．