Question

12．如图，已知矩形ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在射线BC上移动（点E的移动范围在B、C之间，不与B、C两点重合）．设BE=x，PH=y．
①求y与x的函数关系式；
②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S．

Answer 1

分析 （1）过P作PQ⊥BC于Q，根据PQ=AB=$\sqrt{3}$，△PEF是等边三角形求出PF的长，得到答案；
（2）①求出∠ACB=30°，得到FH=FC，根据HF=2-y和BE+EF+FC=3，得到答案；
②过点G作GM⊥BC于点M，求出∠EGC=90°，用x表示EM，根据面积公式表示出△BEG的面积，根据二次函数的性质求出最大值S．

解答 解：（1）如图1，过P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ANBD，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，
∴PQ=AB=$\sqrt{3}$，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，
sin∠PFQ=$\frac{PQ}{PF}$，
∴PF=$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴△PEF的边长为2．
（2）①在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
由勾股定理，AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=30°，
又∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFE=60°，
∴∠FHC=30°，
∴FH=FC，
∵HF=2-PH=2-y，
∴x+2+2-y=3，
即y=x+1．
②如图2，过点G作GM⊥BC于点M，
∵△PEF为等边三角形，
∴∠PEF=60°，
∵Rt△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴∠ACB=30°
∴∠EGC=180°-30°-60°=90°
∵BE=x
∴EC=3-x
∴EG=$\frac{3-x}{2}$，
∵∠GEM=60°，sin∠GEM=$\frac{GM}{GE}$，
∴GM=sin60°•EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3-x}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$x×$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{8}$＜0，
∴当x=-$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{8}）}$=$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{9\sqrt{3}}{32}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、锐角三角函数的概念、二次函数的性质，题目综合性较强，需要学生正确作出辅助线，构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的概念进行解答．