Question

15．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象经过点A（6，8），与BC交于点F．

（1）求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=36，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据平行四边形的中位线，可得E点的坐标，根据EF平行于x轴，可得F点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点的坐标，根据两点间距离公式，可得EF的长，根据AC的长与EF长的关系，可得C点坐标，根据勾股定理，可得OA的长；
（3）分类讨论：当OA=OP=10时，当AP=OA=10时，当PA=OP时，根据两点间距离公式，可得关于x的方程，根据解方程，可得P点坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象经过点A（6，8），
∴k=6×8=48，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{48}{x}$；
（2）由F是BC的中点，EF∥OB，得
E是OA的中点，E的横坐标为$\frac{0+6}{2}$=3，纵坐标为$\frac{0+8}{2}$=4，即E（3，4）．
F的纵坐标为4，当y=4时，4=$\frac{48}{x}$，解得x=12，F（12，4），
EF=12-3=9，
AC=EF=6+9=15，
AC∥OB，
C（15，8）；
由勾股定理，得AO=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
（3）设P（x，4），当OA=OP=10时，x²+4²=10²，解得x=±2$\sqrt{21}$，P₁（2$\sqrt{21}$，4），P₂（-2$\sqrt{21}$，4）；
当AP=OA=10时，（x-6）²+（4-8）²=10²，解得x=6±$\sqrt{59}$，P₃（6+$\sqrt{59}$，4），P₄（6-$\sqrt{59}$，4）；
当PA=OP时，（x-6）²+（4-8）²=x²+4²，解得x=3，P₅（3，4）；
综上所述，P₁（2$\sqrt{21}$，4），P₂（-2$\sqrt{21}$，4）；P₃（6+$\sqrt{59}$，4），P₄（6-$\sqrt{59}$，4）；P₅（3，4）时，以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，平行四边形中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．