Question

如图1，点C是线段AB上一动点，分别以线段AC、CB为边，在线段AB的同侧作正方形ACDE和等腰直角三角形BCF，∠BCF=90°，连接AF、BD．
（1）猜想线段AF与线段BD的数量关系和位置关系（不用证明）．
（2）当点C在线段AB上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由．
（3）在图1的条件下，探究：当点C在线段AB上运动到什么位置时，直线AF垂直平分线段BD？

Answer 1

解：（1）如图a，延长AF到DE于点M，
在△ACF和△DCB中，
∵，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDE，
∵∠AFC=∠DFM，∠AFC+∠FAC=90°，
∴∠DFM+∠FDM=90°，
∴AF⊥BD．

（2）答：（1）中的结论仍成立，即AF=BD，AF⊥BD．
理由：如图1，
∵四边形ACDE为正方形，∴∠DCA=90°，AC=CD．
∵∠BCF=90°，CF=BC，∴∠DCA=∠BCF=90°，
∴∠DCA+∠DCF=∠BCF+∠DCF，
即∠ACF=∠DCB，
在△ACF和△DCB中，
∵，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
又∵∠1=∠2，∠CAF+∠1=90°，∴∠CDB+∠2=90°，
∴AF⊥BD．

（3）探究：当AC=AB时，直线AF垂直平分线段BD．
如图2，连接AD，则AD=AC．
∵直线AF垂直平分线段BD，∴AB=AD=AC，
∴AC=AB．
分析：（1）利用△ACF≌△DCB即可得出AF=BD，进而可得出AF⊥BD；
（2）首先得出△ACF≌△DCB，再利用全等三角形的性质得出AF=BD，以及∠CDB+∠2=90°，进而得出答案；
（3）根据当AC=AB时，直线AF垂直平分线段BD求出即可．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的性质得出对应边与对应角的关系是解题关键．