Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．

①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；

②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.

【解析】

（1）应用待定系数法问题可解；

（2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等

②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解．

（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；

（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，

当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，

∴tan∠QAP=tan∠DCO，

，

∴，

∴OD=，

∴点D坐标为（-，0）.

由对称性，当点D坐标为（，0）时，

由点B坐标为（4，0），

此时点D（，0）在线段OB上满足条件．

②∵OC=3，OB=4，

∴BC=5，

∵∠DCB=∠CDB，

∴BD=BC=5，

∴OD=BD-OB=1，

则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，

连DN，CM，

则DN=DM，∠NDC=∠MDC，

∴∠NDC=∠DCB，

∴DN∥BC，

∴，

则点N为AC中点．

∴DN时△ABC的中位线，

∵DN=DM=BC=，

∴OM=DM-OD=

∴点M（，0）