Question

2．某公司销售某种商品，其标价为100元，现在打6折销售仍然获利50%，为扩大销量，公司决定在打6折的基础上再降价，规定顾客每再多买1件，顾客购买的所有商品的单价再少1元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为x（件），公司获得利润为W（元）
（1）求该商品的进价是多少元？
（2）求W与x的函数关系式并求公司销售利润最大值？
（3）公司发现x在某一范围内会出现顾客购买件数越多公司利润反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？

Answer 1

分析 （1）根据某公司销售某种商品，其标价为100元，现在打6折销售仍然获利50%，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，将W与x的函数关系式化为顶点式，即可求得最大值；
（3）由第（2）问的函数关系式，再根据本问提供的信息可以解答本题．

解答 解：（1）设商品的进价为x元，根据题意可得
100×0.6=x（1+50%），
解得x=40．
答：该商品的进价是40元．
（2）根据题意可得，W=x（20-x+1）=21x-x²=-（x-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{441}{4}$．
由于商品数为整数及抛物线的对称性可知，当x=10或11时，W有最大值，此时W=110．
即W与x的函数关系式是：W=-（x-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{441}{4}$，公司利润的最大值是110元．
（3）由第（2）问可知，当x=11时，取得最大值，当x＞11时，二次函数递减，x越大，则利润会越低，
故最低售价为：40+（20-11+1）=50（元）．
即应规定最低售价为50元．

点评 本题考查二次函数的应用、二次函数的最值、解一元一次方程，解题的关键能根据题意找出等量关系，列出相应的方程，根据题题可以列出相应的二次函数，把二次函数可以转化为顶点式，然后找出所求问题需要的条件．