Question

如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、CP、DP，若△ABP是等边三角形．
（1）求证：△APD≌△BPC；
（2）求∠CPD的度数．

Answer 1

分析：（1）正方形的性质可以得出AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，再由等边三角形的性质可以得出AP=BP=AB，∠PAB=∠PBA=60°，就可以得出∠DAP=∠CBP=30°，由边角边就可以得出结论；
（2）由PB=BC，就可以求出∠PCD=15°，从而得出∠CDP=15°，进而得出∠CPD的度数．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AP=BP=AB，∠PAB=∠PBA=60°，
∴AP=AD=BP=BC，∠DAP=∠CBP=30°．
在△APD和△BPC中，

AD=BC ∠DAP=∠CBP AP=BP

，
∴△APD≌△BPC（SAS）；

（2）∵△APD≌△BPC，
∴PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵BP=BC，∠PBC=30°，
∴∠BCP=75°，
∴∠PDC=∠PCD=15°
∴∠CPD=150°．
答：∠CPD=150°．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．