Question

关于x的方程x²+mx-9=0和x²-3x+m²+6m=0有公共根，则m的值为________．

Answer 1

-3，0，-4.5
分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x²+mx-9=0的两根为α、-m-α；方程x²-3x+m²+6m=0的两根为α、3-α．再根据两根之积的表达式，可知α（-m-α）=-9，α（3-α）=m²+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．
解答：设这个公共根为α．
则方程x²+mx-9=0的两根为α、-m-α；方程x²-3x+m²+6m=0的两根为α、3-α，
由根与系数的关系有：α（-m-α）=-9，α（3-α）=m²+6m，
整理得，α²+mα=9①，α²-3α+m²+6m=0②，
②-①得，m²+6m-3α-mα=-9，
即（m+3）²-α（m+3）=0，
（m+3）（m+3-α）=0，
所以m+3=0或m+3-α=0，
解得m=-3或α=m+3，
把α=m+3代入①得，
（m+3）²+m（m+3）=9，
m²+6m+9+m²+3m=9，
m（2m+9）=0，
所以m=0或2m+9=0，
解得m=0或m=-4.5，
综上所述，m的值为-3，0，-4.5．
故答案为：-3，0，-4.5．
点评：本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．