Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，射线BN交线段CD于点F，则DF的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{24}{5}$
• C． $\frac{12}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：根据矩形的性质得到AB∥DC，由相似三角形的性质得到$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，推出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图2所示：由折叠性质得：AD=AH，等量代换得到AH=BC，根据全等三角形的性质得到CF=BH，由勾股定理求得BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=3，即可得到结论．

解答 解：过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，
∵AH≤AN=4，AB=5，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，
此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图2所示：
由折叠性质得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠BFC}\\{∠AHB=∠BCF}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
∴DF的最大值=DC-CF=2．
故选D．

点评 本题考查了翻折变换-折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．