Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2

顶点D的坐标为 (, -).

（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；

（3）.

【解析】

（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；

（2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上

∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0

解得b =

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.

y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴顶点D的坐标为 (, -).

（2）当x = 0时y = -2,

∴C（0，-2），OC = 2．

当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4

∴B (4,0)

∴OA =1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 =AB2.

∴△ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m=．

解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,

则，解得n = 2，.

∴.

∴当y = 0时，，

∴.