Question

19．如图，已知点O（0，0），A（-5，0），B（2，1），抛物线l：y=-（x-h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．

Answer 1

分析 （1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：y_C=-h²+1，则由二次函数的最值的求法易得y_c的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y₁与y₂的大小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A（-5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（-1，0），（-4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．

解答 解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=-（x-h）²+1，得
1=-（2-h）²+1．
解得h=2．
则该函数解析式为y=-（x-2）²+1（或y=-x²+4x-3）．
故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；

（2）点C的横坐标为0，则y_C=-h²+1．
当h=0时，y_C=有最大值1，
此时，抛物线l为：y=-x²+1，对称轴为y轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，
所以，x₁＞x₂≥0，y₁＜y₂；

（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（-5，0），
∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（-1，0），（-4，0）．
把x=-1，y=0代入y=-（x-h）²+1，得
0=-（-1-h）²+1，
解得h₁=0，h₂=-2．
但是当h=-2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=-4，y=0代入y=-（x-h）²+1，得
h=-5或h=-3（舍去）．
综上所述，h的值是0或-5．

点评 本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍．