Question

在平面直角坐标系xOy中，如图1，将若干个边长为 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA、OC分别落在y轴的正半轴和x轴的负半轴上，将这些正方形顺时针绕点O旋转135°得到相应矩形OA′B′C′，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′．
（1）如图2，当正方形个数为1时，填空：点B′坐标为______，点C′坐标为______，二次函数的关系式为______，此时抛物线的对称轴方程为______；
（2）如图3，当正方形个数为2时，求y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴；
（3）当正方形个数为2011时，求y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴；
（4）当正方形个数为n个时，请直接写出：用含n的代数式来表示y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴．

Answer 1

解：（1）∵正方形的边长为，
∴对角线为×=2，
∵旋转角为135°，
∴点B′在x轴上，
∴点B′（2，0），
根据正方形的性质，点C′（1，1），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′，
∴，
解得，
∴二次函数关系式为y=-x²+2x，
对称轴为直线x=-=1，
即直线x=1；
故答案为：（2，0）；（1，1）；y=-x²+2x；直线x=1．

（2）正方形个数为2时，B′（3，1），C′（2，2），
∴，
整理得，7a=-2b，
∴=-，
抛物线对称轴为直线x=-=-×（-）=；

（3）正方形个数为2011时，B′（2012，2010），C′（2011，2011），
∴，
整理得，6034a=-2b，
∴=-3017，
对称轴为直线x=-=-×（-3017）=；

（4）正方形个数为n个时，B′（n+1，n-1），C′（n，n），
∴，
整理得，（3n+1）a=-2b，
∴=-，
对称轴为直线x=-=-×（-）=．
分析：（1）根据正方形的性质求出对角线的长，然后根据旋转角是135°可知点C′在x轴上，从而求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴公式求解；
（2）先求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答；
（3）求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答；
（4）根据（2）与（3）的规律，求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，待定系数法的思想以及待定系数法求二次函数解析式，根据规律确定出点B′、C′的坐标是解题的关键，也是本题的难点．