Question

20．计算
（1）$\frac{x^2}{x-1}$-x-1
（2）先化简$\frac{2a+2}{a-1}÷（a+1）+\frac{{{a^2}-1}}{{{a^2}-2a+1}}$，然后a在-1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．

Answer 1

分析 （1）先通分，然后计算；
（2）先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值．

解答 解：（1）原式=$\frac{{x}^{2}-（x-1）（x+1）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-{x}^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{x-1}$；

（2）$\frac{2a+2}{a-1}÷（a+1）+\frac{{{a^2}-1}}{{{a^2}-2a+1}}$
=$\frac{2（a+1）}{a-1}$×$\frac{1}{a+1}$+$\frac{（a+1）（a-1）}{（a-1）^{2}}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a+1}{a-1}$
=$\frac{a+3}{a-1}$，
当a=2时，原式=5．

点评 本题考查了分式的化简求值，分式的加减法．分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．