Question

10．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC外接圆⊙O的半径为2.5，△ABC内切圆⊙I的半径为1．

Answer 1

分析 由勾股定理求出斜边AB，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，即可得出△ABC外接圆⊙O的半径．由切线长定理得出AE=AD，CE=CF，BD=BF；证出四边形IECF是正方形，则列方程即可求得⊙I的半径r．

解答 解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴△ABC外接圆的半径为$\frac{1}{2}$AB=2.5；
连接△ABC内切圆⊙I的圆心I和各个切点，如图所示．
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，IE⊥AC，IF⊥BC，
∴∠IFC=∠IEC=∠C=90°，
∴四边形IECF是矩形；
∵IE=IF，
∴四边形IECF是正方形；
∵⊙I的半径为r，
∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，
∴3-r+4-r=5，
解得：r=1，
∴△ABC的内切圆的半径r=1．
故答案为：2.5，1．

点评 本题考查了直角三角形外接圆和内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、正方形的判定；熟知直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半和由勾股定理求出内切圆半径是解决问题的关键．