Question

2．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD=$\sqrt{3}$，则PA的长为1．

Answer 1

分析 根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P=30°，PA=AD=OA，再证明PD是切线，根据切割线定理即可得出结果．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDE=60°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，
∴∠PBD=∠PDA=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠PBD=30°，
∴∠ADO=60°，
∴△ADO为等边三角形，∠ODP=90°，
∴AD=OA，∠AOD=60°，PD为⊙O的切线，
∴∠P=30°，
∴PA=AD，PD²=PA•PB，
∴（$\sqrt{3}）$${\;}^{{\;}^{2}}$=PA•3PA
∴PA=1；
故答案为：1．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．