Question

10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF交AD于点E，交BC于点F．OE=OF．
（1）求证：AE=CF．
（2）当EF与BD满足什么位置关系时，四边形BFDE是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可．
（2）首先得出DO=BO，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形求出即可．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{EO=FO}\\{∠EOA=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF；

（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，
理由：由（1）△AEO≌△CFO，同理可得：△DEO≌△BFO，
则DP=BO，
∵EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△AEO≌△CFO是解题关键．