Question

2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），点B在直线y=1上，点C（2+$\sqrt{10}$，4），点D（2，4），且∠D=∠B，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 连接AC，由点C、D的纵坐标相同可得出直线CD的解析式，由点A的坐标以及点B所在的直线即可得出直线AB的解析式，从而得出AB∥CD，进而可得出∠ACD=∠CAB，由此即可证出△ACD≌△CAB（AAS），根据全等三角形的性质即可得出AB=CD、AD=CB，再利用两点间的距离公式即可求出AD=CD，从而得出四边形ABCD为菱形．

解答 解：四边形ABCD为菱形，理由如下：
连接AC，如图所示．
∵点C（2+$\sqrt{10}$，4），点D（2，4），
∴直线CD的解析式为y=4，
∵点A（1，1），点B在直线y=1上，
∴直线AB的解析为y=1，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB．
在△ACD和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CAB}\\{∠D=∠B}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CAB（AAS），
∴AB=CD，AD=CB．
∵A（1，1），C（2+$\sqrt{10}$，4），D（2，4），
∴AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=2+$\sqrt{10}$-2=$\sqrt{10}$，
∴AD=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD为菱形．

点评 本题考查了坐标与图形性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是找出AB=CD且AB∥CD．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．