Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）作∠ABC的角平分线交AF于点D，（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）若EF=2，DE=3，求tan∠EBF的值．

Answer 1

（1）证明：连接OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，
∵FH∥BC，
∴OF⊥BC，
∴=，
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF平分∠BAC；

（2）如图：BF即是∠ABC的角平分线；

（3）解：∵∠ABD=∠CBD，∠BAF=∠CAF=∠CBF，且∠FBD=∠CBD+∠CBF，∠BDF=∠ABD+∠BAF，
∴∠FBD=∠BDF，
∴BF=DF=EF+DE=2+3=5，
∵∠AFB=∠BFE（公共角），∠CBF=∠BAF，
∴△BEF∽△ABF，
∴BF：AF=EF：BF，
∴AF==，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴tan∠EBF=tan∠BAF===．
分析：（1）首先连接OF，由FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，易证得OF⊥BC，然后由垂径定理，求得AF平分∠BAC；
（2）根据角平分线的作法，求解即可求得∠ABC的角平分线；
（3）易证得△BDF是等腰三角形，即可求得BF的长，△BEF∽△ABF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质，角平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．