Question

如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一条直线上，
∴∠ODC=90°，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，设D₁点在第二象限时，
过D₁作D₁E₁⊥x轴于点E₁，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴，
∴，
∴．
∴直线OD的函数关系式为．
∵AD₁⊥CD₁，
∴设直线CD₁的解析式为y=x+b，
把D₁（-，）代入解析式得b=；
∴函数解析式为y=x+．
②如图2，设D₂点在第四象限时，过D₂作D₂E₂⊥x轴于点E₂，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴，
∴，
∴，
∴直线OD的函数关系式为．
∵AD₂⊥CD₂，
∴设直线CD₂的解析式为y=x+b，
把D₂（，-）代入解析式得b=-；
∴函数解析式为y=x-．

（3）解：设D（x，y₀），
∴，
∵B（5，0），
∴，
∴S=BD²=（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S_最大值=13+5=18，S_最小值=13-5=8．
分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD与圆相交于点D，故直线CD与⊙O相切；
（2）分两种情况，1、D₁点在第二象限时，2、D₂点在第四象限时，再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系；
（3）设D（x，y₀），有S=BD²=（26-10x）=13-5x；再根据x的范围可得面积的最大最小值．
点评：本题难度较大，要求学生有较强的综合分析能力及数形结合分析解决问题的能力．