Question

16．矩形ABCD中，PE⊥AC，PF⊥BD，点M是线段AD中点，求证：ME=MF．

Answer 1

分析 连接OM、EF，证得O、F、E、P四点共圆和O、E、P、M四点共圆，从而得到O、F、E、M四点共圆，利用圆内接四边形的性质得到∠MEF=∠MFE，从而证得ME=MF．

解答 证明：连接OM、EF，
∵∠OEP=∠OFP=90°，
∴O、F、E、P四点共圆，
∵∠OEP+∠OMP=180°，
∴O、E、P、M四点共圆，
∴O、F、E、M四点共圆，
∴∠MFE=∠MOE，∠MEF=∠MOD，
∵OA=OB，AM=MD，
∴∠MOA=∠MOD，
∴∠MOE=∠MOD，
∴∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF．

点评 本题考查了四点共圆的知识，解题的关键是能够利用证明四点共圆的判定方法进行判断，另外还应了解圆内接四边形的性质．