Question

1．在正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线AB于点M，交直线CD于点F．
（1）当点E在线段BC上时，如图①，求证：BE=BM+CF；（提示：过点C作CN∥FM交直线AB的于点N）
（2）当点E在线段BC的延长线上时，如图②；当点E在线段CB的延长线上时，如图③；线段BE、BM、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明；
（3）若S_{正方形ABCD}=324，sin∠FEC=$\frac{4}{5}$，则MB=32，CF=8或56．

Answer 1

分析 （1）过点F作FH⊥AB于H，交AE于G，则四边形FHBC为矩形，得出FH=BC=AB，CF=HB，再由ASA证明△ABE≌△FHM，得出HM=BE，即可得出结论；
（2）①当点E在线段BC的延长线上时，过点F作FH⊥AM于H，则四边形FHBC为矩形，得出FH=BC=AB，CF=BH，再由ASA证明△ABE≌△FHM，得出HM=BE，即可得出结论；
②当点E在线段CB的延长线上时，过点M作MH⊥DF于H，则四边形BCHM为矩形，得出MH=BC=AB，CH=BM，再由ASA证明△ABE≌△FHM，得出HF=BE，即可得出结论；
（3）分三种情况：①当点E在线段BC上时，根据三角函数求出BE=24，不合题意；②当点E在线段BC的延长线上时，同①得出BE=24，求出CE=24-18=6，由三角函数求出CF，即可得出MB；③当点E在线段CB的延长线上时，同①得出：BE=24，由三角函数求出MB，即可得出CF．

解答 （1）证明：过点F作FH⊥AB于H，交AE于G，如图1所示：
则四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，CF=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AGH=∠FGE，
∴∠EAB=∠HFM，
在△ABE和△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠HFM}\\{AB=FH}\\{∠ABE=∠FHM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HM=BE，
∴BE=BM+CF；
（2）解：①当点E在线段BC的延长线上时，BE=BM-CF，理由如下：
过点F作FH⊥AM于H，如图2所示：
则四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，CF=BH，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABE=∠AEM=∠FHM=90°，
∵∠MFH=∠MEB，
∴∠EAB=∠HFM，
在△ABE和△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠HFM}\\{AB=FH}\\{∠ABE=∠FHM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HM=BE，
∵HM=BM-BH=BM-CF，
∴BE=BM-CF；
②当点E在线段CB的延长线上时，BE=CF-BM，理由如下：
过点M作MH⊥DF于H，如图3所示：
则四边形BCHM为矩形，
∴MH=BC=AB，CH=BM，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABE=∠AEF=∠FHM=90°，
∵∠FMH=∠MEB，
∴∠EAB=∠FMH，
在△ABE和△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠HFM}\\{AB=FH}\\{∠ABE=∠FHM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HF=BE，
∵HF=CF-CH=CF-BM，
∴BE=CF-BM；
（3）解：∵S_{正方形ABCD}=324，
∴正方形ABCD的边长为18；
分三种情况讨论：
①当点E在线段BC上时，
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠FEC+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴sin∠BAE=sin∠FEC=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴BE=24，
∵BE＜AB，
∴BE＜18，
∴不合题意；
②当点E在线段BC的延长线上时，
同①得出：BE=24，
∴CE=24-18=6，
∴CF=$\frac{4}{3}$CE=$\frac{4}{3}$×6=8，
∴MB=BE+CF=24+8=32；
③当点E在线段CB的延长线上时，
同①得出：BE=24，
∵tan∠FEC=$\frac{BM}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴MB=$\frac{4}{3}$BE=$\frac{4}{3}$×24=32，
∴CF=BE+BM=24+32=56；
综上所述，MB=32，CF=8或56，
故答案为32；8或56．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要运用分类讨论和类比的思想方法才能得出结果．