Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想线段AE与BF的长短有何关系？说明理由；
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得CF=AC，BE=BC，则根据平行四边形的判定方法得到四边形ABFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得AE=BF；
（2）根据平行四边形的性质，利用四边形ABFE的面积进行计算即可；
（3）当AC=BC时，四边形ABFE为矩形而AB=AC，则宽带判定△ABC为等边三角形，于是得到∠ACB=60°．

解答 解：（1）AE=BF．理由如下：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴CF=AC，BE=BC，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴AE=BF；
（2）∵四边形ABFC为平行四边形，
∴四边形ABFE的面积=4S_△ABC=4×3=12（cm²）；
（3）当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．理由如下：
∵当AF=BE时，平行四边形ABFE为矩形，
∴AC=BC，
而AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
即当∠ACB为60度时，四边形ABFE为矩形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的判定．