【题目】如图,抛物线与轴交于,两点(点在点的左边)与轴交于点,连接,过点作直线的平行线交抛物线于另一点,交轴于点,则的值为__________.
【答案】
【解析】
作EF⊥x轴与x轴交于点F,由抛物线y=a(x-4)(x+1)(a>0)得点A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4a),求出直线BC和直线AE的解析式,再求出直线AE和抛物线的交点可得点E的横坐标是5,则OF=5,由OD∥EF,根据平行线分线段成比例可得 .
解:作EF⊥x轴与x轴交于点F,
∵抛物线y=a(x-4)(x+1)(a>0)与轴交于A,B两点(点A在点的左边)与y轴交于点C,
∴A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4a),
设直线BC的解析式为 ,
,解得
∴直线BC的解析式为,
设直线AE的解析式为,
∵A(-1,0)∴-a+b=0,b=a,
∴直线AE的解析式为 ,
直线AE与抛物线y=a(x-4)(x+1)(a>0)的交点为
a(x-4)(x+1)=ax+a
解得
∴点E的横坐标为5,即OF=5,
∵OD∥EF
∴.
故答案为: .
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【题目】 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点G在弧BD上,连接AG,交CD于点K,过点G的直线交CD的延长线于点E,交AB的延长线于点F,且EG=EK.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为13,CH=12, ,求FG的长.
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【题目】如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1,BC1.若∠ACB=30°,AB=1,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s,则下列结论:①△A1AD1≌△CC1B②当x=1时,四边形ABC1D1是菱形 ③当x=2时,△BDD1为等边三角形 ④s= (x﹣2)2(0<x<2),其中正确的有( )
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
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【题目】如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PE=3PF.求证:PE⊥PF;
(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
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【题目】四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似但不全等,我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
(1)如图1,在四边形中,,,,对角线平分.求证:是四边形的“相似对角线”;
(2)如图2,已知格点,请你在正方形网格中画出所有的格点四边形,使四边形是以为“相似对角线”的四边形;(注:顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形)
(3)如图3,四边形中,点在射线:上,点在轴正半轴上,对角线平分,连接.若是四边形的“相似对角线”,,求点的坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD⊥AC,垂足为P.
(1)请作出Rt△ABC的外接圆⊙O;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)点D在⊙O上吗?说明理由;
(3)试说明:AC平分∠BAD.
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【题目】如图,把长方形纸片ABCD沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么,有下列说法:①△EBD是等腰三角形,EB=ED;②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等;③折叠后得到的图形是轴对称图形;④△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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