Question

1．数学实验课上，吴老师让大家用矩形纸片折出菱形，小华同学的操作步骤是：
（1）如图①，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠；
（2）如图②，将图①中的△A′BF沿BF折叠得到△A″BF；
（3）如图③，将图②中的△CDF沿DF折叠得到△C′DF；
（4）将图③展开得到图④，其中BD，BE，DF为折叠过程中产生的折痕．
试解答下列问题：
（1）证明图④中的四边形BEDF为菱形；
（2）在图④中，若BC=8，CD=4，求菱形BEDF的边长．

Answer 1

分析 （1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明；
（2）由题意设BF=DF=x，则CF=8-x，在Rt△DCF中，根据DF²=CD²+CF²，列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由图①折叠可知，∠ADB=∠BDF，
∴∠BDF=∠DBC，
∴FB=FD，
由折叠可知，BE=BF，DE=DF，
∴BE=ED=DF=FB，
∴四边形BEDF是菱形．

（2）由题意设BF=DF=x，则CF=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
在Rt△DCF中，∵DF²=CD²+CF²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∴菱形BEDF的边长为5．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用翻折不变性，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．