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    如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG=4．
    （1）求梯形BCFG的面积；
    （2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②．
    ①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；
    ②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S．精英家教网
    分析：（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S梯形GBCF=S△ABC-S△AGF，所以梯形的面积就可以求出了；
    （2）①根据运动过程知道BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如图③过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM2+G'M2=DG'2，求出DM=G'M=2
    		2
    ，接着得到BM=4+2
    		2
    ，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出BG'2；②当o≤x≤2
    		2
    时，其重合部分为梯形，如图②．在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，过G点作GH垂直BC于点H，得GH=2
    		2
    ，由①知BD=GG′=x，DC=6
    		2
    -x，G'F'=2
    		2
    -x，现在就可以用x表示S了．当2
    		2
    ≤x≤6
    		2
    时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．斜边DC=6
    		2
    -x，斜边上的高为
    1
    2
    (6
    		2
    -x)    ，现在也可以用x表示s了．
    解答：解：（1）在Rt△ABC中，
    ∵AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°．
    又∵GF∥BC，
    ∴∠AGF=∠AFG=45°．
    ∴AG=AF=2，AB=AC=6．
    ∴S梯形GBCF=S△ABC-S△AGF=
    1
    2
    ×6×6-
    1
    2
    ×2×2=16    ．

    （2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′=BG，∴BDG′G是平行四边形．
    当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形．
    ∴BD=BG=4．
    如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M．
    在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4，
    ∴DM=G′M且DM2+G'M2=DG'2．
    ∴DM=G′M=2
    		2
    ，
    ∴BM=4+2
    		2
    ．连接G′B．
    在Rt△G′BM中，G′B2=BM2+G′M2=(4+2
    		2
    )2+(2
    		2
    )2=32+16
    		2
    ．
    ②当0≤x≤2
    		2
    时，其重合部分为梯形，如图②．
    在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF=
    		AG2+AF2
    =2
    		2
    ，BC=
    		AB2+AC2
    =6
    		2
    ．
    过G点作GH垂直BC于点H，得GH=2
    		2
    ．
    由①，知BD=GG′=x，DC=6
    		2
    -x    ，G′F′=2
    		2
    -x    ．
    ∴S梯形=
    (G′F′+DC)•GH
    2
    =
    (2
    		2
    -x+6
    		2
    -x)•2
    		2
    2
    =16-2
    		2
    x    ．
    当2
    		2
    ≤x≤6
    		2
    时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．
    ∵斜边DC=6
    		2
    -x    ，斜边上的高为
    1
    2
    (6
    		2
    -x)    ，
    ∴S△=
    1
    2
    (6
    		2
    -x)•
    1
    2
    (6
    		2
    -x)=
    1
    4
    (6
    		2
    -x)2=
    1
    4
    x2-3
    		2
    x+18    ．
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    点评：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．
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    （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
    （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
    （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=
    1
    4
    x2-6    与直线y=
    1
    2
    x    相交于A，B两点．
    （1）求线段AB的长；
    （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
    （3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式
    1
    OC2
    +
    1
    OD2
    =
    1
    OM2
    是否成立；
    （4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    =
    1
    h2
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．试探究线段FD、FE的数量关系，并加以证明．
    说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，可以从图2、3中选取一个，并分别补充条件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
    （1）求AA1的长；
    （2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
     
    ；
    （3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
     
    ；
    （4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
     
    ．

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