Question

19．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠C=∠D，P是CD上一动点，且∠APE=∠D．若AD=BC=4，CD=7．
（1）求证：△ADP∽△PCE；
（2）是否存在点P，使$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$？若存在，请求DP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若点P移到CD的中点时，求证：∠PAE=∠PAD．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰梯形的性质得出∠D=∠C，再由三角形外角的性质得出∠D+∠DAP=∠APC=∠APE+∠EPC，故∠DAP=∠EPC，由此可得出结论；
（2）根据$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$可得出BE，CE的长，再由△ADP∽△PCE可得出结论；
（3）由（1）知△ADP∽△PCE，故$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{CE}$．再根据P为DC的中点可得出DP=PC，故∠APE=∠C，由此可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠D=∠C．
∵∠APE=∠D，
∴∠APE=∠C．
∵∠D+∠DAP=∠APC=∠APE+∠EPC，
∴∠DAP=∠EPC．
在△ADP与△PCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠DAP=∠EPC\\∠D=∠C\end{array}\right.$，
∴△ADP∽△PCE；

（2）解：∵AD=BC=4，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=1.5，CE=2.5．
∵△ADP∽△PCE，设DO=x，
∴$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{7-x}$=$\frac{x}{2.5}$，解得x₁=2，x₂=5＞4（舍去），
∴DP=2．

（3）证明：∵由（1）知，△ADP∽△PCE，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{CE}$．
∵P为DC的中点，
∴DP=PC．
∴∠APE=∠C，
∴△APE∽△PCE，
∴∠PAE=∠PAD．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识，在解答此题时要注意等腰梯形的两底角相等的知识的应用，难度较大．