Question

【题目】如图，在正方形中，点是边上的一个动点，连接．过点作一条射线与边的延长线交于点，使得，其中是边延长线上的点．连接．

（）求证： 是等腰直角三角形．

（）若，求的面积．

Answer 1

【答案】（）证明见解析．（）．

【解析】试题分析：（1）首先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得结论；

（2）由（1）可知QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理，等量代换易得ax，可得结果．

试题解析：解：（1）∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，∵∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PBA=∠QBC，在Rt△PAB和Rt△QCB中，∵∠A=∠QCB，AB=CB，∠PBA=∠QBC，∴△PAB≌△QCB（ASA），∴PB=QB，∴△PBQ是等腰直角三角形；

（2）设正方形的边长AB=a，PA=x，∵△PAB≌△QCB，∴QC=PA=x，∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD﹣PA=a﹣x，在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，∵PQ2=PB2+PD2+1，∴（a﹣x）2+（a+x）2=x2+a2+（a﹣x）2+1，解得：2ax=1，∴ax=，∵△PAB的面积S=PAPB=ax=×=．