Question

8．如图，BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，且∠MAN=45°，连接MN．
（1）画出将△ABM绕点A顺时针旋转90°后得到的图形，并探究以线段BM，DN，MN为三边组成的三角形的形状；
（2）当MN∥AD时，直接写出$\frac{BM}{DN}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，将△ABM绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE，根据正方形的性质和角平分线的定义得出∠NDE=360°-∠ADN-∠ADE=90°，再结合旋转的性质知BM=DE，证△MAN≌△DAN得MN=NE，在Rt△DEN中由DN²+DE²=EN²可得答案；
（2）如图2，连接BD并延长交MN延长线于点F，易证△DFN和△BFM均为等腰直角三角形，从而得出FN=$\sqrt{2}$DN、FM=$\sqrt{2}$BM，设BM=x、DN=y，由DN²+BM²=MN²知MN=$\sqrt{2}$（y-x），从而有x²+y²=[$\sqrt{2}$（y-x）]²，解之可得x=（2-$\sqrt{3}$）y，从而得出答案．

解答 解：（1）如图1，将△ABM绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ADC=90°，AB=AD，
∵BM、DN为正方形ABCD的两个外角平分线，
∴∠ABM=∠ADN=90°+45°=135°，
由旋转性质知△ABM≌△ADE，
∴AM=AD，BM=DE，∠3=∠5，∠ABM=∠ADE=135°，
则∠NDE=360°-∠ADN-∠ADE=90°，
∵∠6=45°，∠4+∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠5=∠6=45°，
∴∠4+∠3=∠6=45°，即∠MAN=∠EAN，
在△MAN和△DAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△DAN（SAS），
∴MN=EN，
在Rt△DEN中，∵DN²+DE²=EN²，
∴DN²+BM²=MN²；

（2）如图2，连接BD并延长交MN延长线于点F，

由题意知∠FDN=∠FBM=90°，∠ADN=135°，
∵MN∥AD，
∴∠FND=45°，
∴∠F=90°-∠FND=45°，
∴△DFN和△BFM均为等腰直角三角形，
∴FN=$\sqrt{2}$DN，FM=$\sqrt{2}$BM，
由（1）知，DN²+BM²=MN²，
∴设BM=x，DN=y，
则FM=$\sqrt{2}$x，FN=$\sqrt{2}$y，
∴MN=$\sqrt{2}$（y-x），
∴x²+y²=[$\sqrt{2}$（y-x）]²，
∴x₁=（2+$\sqrt{3}$）y（舍），x₂=（2-$\sqrt{3}$）y，
∴$\frac{BM}{DN}$=$\frac{x}{y}$=$\frac{（2-\sqrt{3}）y}{y}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．