Question

【题目】如图，已知、、分别是上的点，，是直径的延长线上的一点，且．

(1)求证：与相切；

(2)如果，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【解析】

（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∠PAC=120°，进而得出∠PAO=90°，即可得出答案；

（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．

（1）连接AO．

∵∠B=60°，∴∠AOC=120°．

∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP=+R．

∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即+R=2R，解得：R=，∴OA=，OP=2，∴PA===3．