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【题目】如图,在等腰直角中, 是斜边的中点,点分别在直角边上,且于点.则下列结论:①图形中全等的三角形只有两对;②的面积等于四边形面积的2倍;③;④.其中正确的结论有_______________________________(填序号)

【答案】②③④

【解析】

根据全等三角形的判定方法可判断结论错误,由全等三角形的性质可以判断而正确,利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断正确,利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理判断正确.

解:结论错误.理由如下:

图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC△AOD≌△COE△COD≌△BOE

由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB

△AOC△BOCE中,

∴△AOC≌△BOC

∵OC⊥ABOD⊥OE

∴∠AOD=∠COE

△AOD△COE中,

∴△AOD≌△COEASA).

同理可证:△COD≌△BOE,故错误;

∵△AOD≌△COE

∴SAOD=SCOE

∴S四边形CDOE=SCOD+SCOE=SCOD+SAOD=SAOC=SABC

△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍,故正确;

∵△AOD≌△COE

∴CE=AD

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA,故正确;

∵△AOD≌△COE

∴AD=CE

∵△COD≌△BOE

∴BE=CD

Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2

∴AD2+BE2=DE2

∵△AOD≌△COE

∴OD=OE

∵OD⊥OE

∴△DOE为等腰直角三角形,

∴DE2=2OE2∠DEO=45°

∴AD2+BE2=2OE2

SDOE=,

OE2=2SDOE

AD2+BE2=4 SDOE,故正确.

综上所述,正确的结论是②③④

故答案为:②③④

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