【题目】如图,在中,,,点在线段上运动(不与、重合),连接,作,交线段于.
(1)当时,______________;点从向运动时,逐渐变____________(填“大”或“小”);
(2)当时,求证:,请说明理由;
(3)在点的运动过程中,的形状也在改变,判断当等于多少度时,是等腰三角形.
【答案】(1)25°;小;(2)见解析;(3)当∠BDA的度数为80°或110°时,△ADE是等腰三角形.
【解析】
(1)利用三角形内角和定理,即可求出;然后根据∠BAD的变化情况,即可判断的变化情况;
(2)利用∠DEC+∠EDC=140°,∠ADB+∠EDC=140°,求出∠ADB=∠DEC,再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE;
(3)根据等腰三角形的腰的情况分类讨论,再利用等腰三角形的性质和三角形的外角即可分别求出∠BDA.
解:∵在△BAD中,∠B=40°,∠BDA=115°,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BDA=25°;
∠BAD+∠BDA=180°﹣∠B=140°
由图可知:点从向运动时,∠BAD逐渐变大,则逐渐变小.
故答案为:25°;小;
(2)∵∠B=∠C=40°,
∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C=140°,
又∵∠ADE=40°,
∴∠ADB+∠EDC=180°﹣∠ADE =140°,
∴∠ADB=∠DEC,
∵,
∴
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS).
(3)当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数为80°或110°,
①当ED=EA时,
∴∠DAE=∠EDA=40°,
∴∠BDA=∠C+DAE=80°;
②当DA=DE时,
∴∠DAE=∠DEA=(180°﹣∠ADE)=70°,
∴∠BDA=∠C+DAE=110°,
③当AD=AE时,
∠ADE=∠AED=40°
∵∠C=40°
∠AED是△EDC的外角
∴∠AED>∠C,与∠AED=40°矛盾
所以此时不成立;
综上所述:当∠BDA的度数为80°或110°时,△ADE是等腰三角形.
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【题目】在中,,,是的两条角平分线,且,交于点.
(1)如图1,用等式表示,,这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
小东通过观察、实验,提出猜想:.他发现先在上截取,使,连接,再利用三角形全等的判定和性质证明即可.
①下面是小东证明该猜想的部分思路,请补充完整:
ⅰ)在上截取,使,连接,则可以证明与 全等,判定它们全等的依据是 ;
ⅱ)由,,是的两条角平分线,可以得出 °;
②请直接利用ⅰ),ⅱ)已得到的结论,完成证明猜想的过程.
(2)如图2,若 ,求证:.
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【题目】已知:为的直径,为延长线上的任意一点,过点作的切线,切点为,的平分线与交于点.
(1)如图,若恰好等于,求的度数;
(2)如图,若点位于中不同的位置,的结论是否仍然成立?说明你的理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(3,0),B(2,﹣3),并且以x=1为对称轴.
(1)求此函数的解析式;
(2)作出二次函数的大致图象;
(3)在对称轴x=1上是否存在一点P,使△PAB中PA=PB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在等腰直角中, ,是斜边的中点,点、分别在直角边、上,且,交于点.则下列结论:①图形中全等的三角形只有两对;②的面积等于四边形面积的2倍;③;④.其中正确的结论有_______________________________(填序号)
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【题目】如图是8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(﹣2,4),点B的坐标为(﹣4,2);
(2)在第二象限内的格点上画一点C,连接AC,BC,使△BC成为以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数.
①此时点C的坐标为 ,△ABC的周长为 (结果保留根号);
②画出△ABC关于y轴对称的△A′B'C′(点A,B,C的对应点分别A',B',C′),并写出A′,B′,C′的坐标.
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