Question

【题目】如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A（4，0），B两点，该抛物线的对称轴x=﹣1，与x轴交于点C，且∠ABC=90°，求：

（1）直线AB的解析式；

（2）抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2）y=﹣x2﹣x+2；

【解析】

（1）先证明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似比计算出OB=2，则B点坐标为（0，2），然后利用待定系数法确定直线AB的解析式；

（2）先利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-6，0），则可设交点式y=a（x+6）（x-4），然后把B点坐标代入求出a即可．

（1）∵A点坐标为（4，0），C点坐标为（﹣1，0），

∴OA=4，OC=1，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBO=∠BAO，

∴Rt△CBO∽Rt△BAO，

∴OB：OA=OC：OB，即OB：4=1：OB，

∴OB=2，

∴B点坐标为（0，2），

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（4，0）、B（0，2）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

（2）∵该抛物线的对称轴x=﹣1，

而A点坐标为（4，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0），

设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣4），

把B（0，2）代入得a6（﹣4）=2，解得a=﹣，

所以抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣4）=﹣x2﹣x+2．