Question

【题目】如图，已知矩形 OABC，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 A（2，0）， C（0，3），点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发在射线 CO 上运动，连接 BP，作 BE⊥PB 交 x 轴于点 E，连接 PE 交 AB 于点 F，设运动时间为 t 秒．

（1）当 t=2 时，求点 E 的坐标；

（2）在运动的过程中，是否存在以 P、O、E 为顶点的三角形与△PCB 相似．若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（5，0）；（2）存在.

【解析】

(1)本题需先求出AB=AE,再求出DE=5,即可求出点E的坐标.

(2)本题需先求出CP=CB=2,即可求出t的值.(3)本题需先证出△BCP~△BAE,求出

AE= t,再证出△POE~△PCB,求出的t值,再求出OP的长,即可求出P的坐标.

解：（1）当 t=2 时，PC=2，∵BC=2，∴PC=BC，∴∠PBC=45°，∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，∴AB=AE=3，OE=5，∴点 E 的坐标是（5，0）；

（2）存在，

∵∠ABE+∠ABP=90°

∠PBC+∠ABP=90°

∴∠ABE=∠PBC

∵∠BAE=∠BCP=90°

∴△POE△BAE

∴=

∴=

∴AE=t

∵若△POE△PCB

∴

∴=

,(舍去)

∴P的坐标为（0，）.