Question

如图，已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，F为    的中点，过F作DE∥BC交AB的延长线于D，交AC的延长线于E.

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为10，∠A=45°，求阴影部分的面积.

Answer 1

 

（1）       证明：连接OF，OC，作OG⊥AC，垂足为G----------------------------1

∵F为    的中点

∴             

∴∠1=∠2---------------------------------------------------------------------2

∵OB=OC

∴OF⊥BC-------------------------------------------------------4

∴∠ONC=90°

∵DE∥BC

∴∠OFE=∠ONC=90°

∴OF⊥DE---------------------------------------------------5

∴DE为⊙O的切线---------------------------------------------------------------------6

（2）∵OG⊥AC

∴AG=CG=5-------------------------------------------------------7

AE=AG+GE=AG+OF=5+10----------------------------------------------------8

∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵DE∥BC

∴∠E=∠ACB=90°

∵∠A=45°

∴DE=AE=5+10----------------------------------------------------------------9

∵∠BOC=2∠A=90°--------------------------------------------------------------------10

∴S_阴影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC

 

=                                                              --------------12