Question

18．今年夏天我市出现厄尔尼诺现象极端天气，多地引发滑坡、山洪等严重自然灾害．如图所示，ON为水平线，斜坡MN的坡比为1：$\sqrt{3}$，斜坡上一棵大树树干AB（树干AB垂直于底面ON）被大风刮倾斜15°后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面，经测量，大树被折断部分与坡面所成的角∠ADC=30°，AD=8米，∠BAC=15°．
（1）求这棵大树原来的高度；（参考数据：$\sqrt{2}≈1.414，\sqrt{3}$≈1.732．结果精确到0.1米）
（2）某高速路段由于滑坡，需要在一定时间内进行抢修，若甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成．求乙队单独完成全部工程需多少小时？

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥CD，垂足为H，解Rt△ADH中，求得AH，DH，在RT△ACH中，求得CH=AH=4米，然后根据AB=AC+CD即可求解；
（2）设乙队单独完成需要x小时，则甲队单独完成需要（x-3）小时，根据甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成建立方程，求解即可．

解答 解：（1）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
∵在Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD=8米，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=4米，DH=$\sqrt{3}$AH=4$\sqrt{3}$米．
∵斜坡MN的坡比为1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠MNO=1：$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MNO=30°，
∴∠M=60°=∠BAM，
∵∠BAC=15°，
∴∠CAD=180°-∠BAM-∠BAC=180°-60°-15°=105°，
∴∠C=180°-∠CAD-∠ADC=180°-105°-30°=45°．
∵在Rt△ACH中，∠C=45°，
∴CH=AH=4米，AC=$\sqrt{2}$AH=4$\sqrt{2}$米．
∴AB=AC+CD=4$\sqrt{2}$+4+4$\sqrt{3}$≈16.6（米）．
答：这棵大树原来的高度约16.6米；

（2）设乙队单独完成需要x小时，则甲队单独完成需要（x-3）小时，
根据题意得（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x-3}$）×2+$\frac{1}{x}$×（x-3-2）=1，
解得x=9．
经检验，x=9是原方程的解，也符合题意．
答：乙队单独完成全部工程需9小时．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．也考查了分式方程的应用．