Question

8．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△OA₁B₁的顶点A₁的坐标是（1，$\sqrt{3}$）；△B₆A₇B₇的顶点A₇的坐标是（13，$\sqrt{3}$）；△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整数）的顶点A_2n+1的坐标是（4n+1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先根据△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，可得A₁的坐标为（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A₂、A₃、A₄的坐标各是多少；最后总结出A_n的坐标的规律，求出A_2n+1的坐标是多少即可．

解答 解：∵△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，
∴A₁的坐标为（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐标为（2，0），
∵△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，
∴点A₂与点A₁关于点B₁成中心对称，
∵2×2-1=3，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴点A₂的坐标是（3，-$\sqrt{3}$），
∵△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，
∴点A₃与点A₂关于点B₂成中心对称，
∵2×4-3=5，2×0-（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴点A₃的坐标是（5，$\sqrt{3}$），
∵△B₃A₄B₄与△B₃A₃B₂关于点B₃成中心对称，
∴点A₄与点A₃关于点B₃成中心对称，
∵2×6-5=7，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴点A₄的坐标是（7，-$\sqrt{3}$），
…，
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，
∴A_n的横坐标是2n-1，A_2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
∵当n为奇数时，A_n的纵坐标是$\sqrt{3}$，当n为偶数时，A_n的纵坐标是-$\sqrt{3}$，
∴顶点A_2n+1的纵坐标是$\sqrt{3}$，
∴△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整数）的顶点A_2n+1的坐标是（4n+1，$\sqrt{3}$），
∴△B₆A₇B₇的顶点A₇的坐标是（13，$\sqrt{3}$），
故答案为：（1，$\sqrt{3}$）、（13，$\sqrt{3}$）、（4n+1，$\sqrt{3}$）．

点评 此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A_n的横坐标、纵坐标各是多少．