Question

【题目】已知：如图等边△ABC，D是AC的中点，E在BC的延长线上，且CE＝CD，过D作DF⊥BE于点E．

（Ⅰ）求证：△BDE为等腰三角形；

（Ⅱ）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）BF＝3FC，理由见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据“三线合一”得到∠ABD=∠CBD=30°，然后再由CE=CD，根据“等边对等角”得到∠CDE=∠E，因为∠ACB为三角形DCE的外角，根据外角性质得到∠CDE=∠E=30°，进而利用等量代换得到∠DBE=∠E，根据“等角对等边”得到DB=DE；
（Ⅱ）解直角三角形求得BF＝DF，DF＝FC，从而证得BF=3FC．

（Ⅰ）证明∵BD是等边△ABC的中线，

∴BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠ABC＝30°，

又∵CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．

∴∠DBE＝∠E，

∴DB＝DE，

∴△BDE为等腰三角形；

（Ⅱ）猜想FC与BF间的数量关系为：BF＝3FC，

证明：∵D是等边△ABC的边AC的中点，

∴BD⊥AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴BF＝DF，

∵DF⊥BE，∠DCF＝60°，

∴DF＝FC，

∴BF＝3FC．