Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 首先连接CP，根据点P是斜边AB的中点，可得S_△ACP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC；然后分别求出出发时；点N到达BC的中点、点M也到达AC的中点时；结束时，△PMN的面积S的大小，即可推得△MPN的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，据此判断出△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是哪个即可．

解答 解：如图1，连接CP，
，
∵点P是斜边AB的中点，
∴S_△ACP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
出发时，S_△PMN=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
∵两点同时出发，同时到达终点，
∴点N到达BC的中点时，点M也到达AC的中点，
∴S_△PMN=$\frac{1}{4}$S_△ABC；
结束时，S_△PMN=S_△ACP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
在整个运动过程中设BC=a，AC=b，
∴S=$\frac{1}{2}$[ab-V_N•t•$\frac{b}{2}$-（a-V_N•t）•V_M•t-（b-V_M•t）•$\frac{a}{2}$]
=$\frac{1}{2}$（ab-$\frac{1}{2}$V_Nb•t-aV_M•t+V_NV_M•t²-$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$aV_M•t）
=$\frac{1}{2}$V_NV_M•t²-$\frac{1}{4}$（V_Nb+aV_M）t+$\frac{1}{4}$ab，
∴△MPN的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，
∴△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是：
．
故选：A．

点评 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．