Question

1．正方形ABCD中，E为CD上一点，AB=12，DE=5，AE的垂直平分线分别交AD，BC于M，N，垂足为P，则MP：PN=5：19．

Answer 1

分析 由勾股定理求AE的长，过M点作MG⊥BC，垂足为G，利用互余关系证明∠DAE=∠GMN，可证△DAE≌△GMN，从而有MN=AE，从而求得MN的长．然后根据三角形相似求得PM的长，求出MP：MN，即可求得MP：PN的值．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，DE=5，
∴AE=$\sqrt{{AD}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
过M点作MG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∴四边形MDCG是矩形，
∴MG=DC，
∴MG=AD，
∵∠DAE+∠AMN=90°，∠GMN+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠GMN，
在△DAE与△GMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠GMN}&{\;}\\{AD=MG}&{\;}\\{∠D=∠M∠GN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴DAEP≌△GMN（ASA），
∴MN=AE=13，
∵AE=13，
∴AP=$\frac{13}{2}$，
∵∠D=∠APM=90°，
∴∠AMN=∠AED，
∴△AMP∽△AED，
∴$\frac{MP}{DE}=\frac{AP}{AD}$，
即$\frac{MP}{5}=\frac{\frac{13}{2}}{12}$，
解得：MP=$\frac{65}{24}$，
∴$\frac{MP}{MN}=\frac{5}{24}$，
∴MP：PN=5：19；
故答案为：5：19．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理的运用以及三角形相似的判定和性质；作辅助线，构造全等三角形是本题的关键．